Differential Calculus & Integral Calculus (अवकलन एवं समIकलन गणित)

Part-A: Differential Calculus  ¼Hkkx-A:  vodyu xf.kr½

Units

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Topics

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I

Introduction to Indian Ancient Mathematics and Mathematicians should be included under Continuous Internal Evaluation (CIE).  ((भारतीय प्राचीन गणित एवं गणितज्ञों का परिचय सतत आंतरिक मूल्यांकन (ब्प्म्) के अन्तर्गत शामिल किया जाना चाहिए)

Neighborhood of a point, bounded above sets, bounded below sets, Bounded Sets, Unbounded sets, open sets/intervals, closed sets/intervals, Limit points of a set, Isolated points.

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Limit, continuity and differentiability of function of single variable, Cauchy’s definition, Heine’s definition, Equivalence of definition of Cauchy and Heine, Uniform continuity, Borel’s theorem, Boundedness theorem, Bolzano’s theorem, Intermediate value theorem, Extreme value theorem, Darboux’s intermediate value theorem for derivatives, Chain rule, Indeterminate forms.  ¼,dy pj ds Qyu dh lhek] fujarjrk ,oa fHkUurk] dkS’kh dh ifjHkk"kk] gsu dh ifjHkk"kk] dkS’kh rFkk gsu dh ifjHkk"kk dh lekurk] leku fujarjrk] cksjsy dk çes;] ifjc)rk çes;] cksytkuks dk çes;] ek/;eku çes;] loksZPp eku çes;] Mkjc‚Dl ds ek/;eku çes; ds fy, vodyt] J`a[kyk fu;e] vfuf'pr :i½       (07)

II

Rolle’s theorem, Lagrange and Cauchy Mean value theorems, Mean value theorems of higher order, Taylor’s theorem with various forms of remainders, Successive differentiation, Leibnitz theorem, Maclaurin’s and Taylor’s series, Partial differentiation, Euler’s theorem on homogeneous function. ¼(रोले की प्रमेय, लैग्रेंज एवं कॉची माध्य मान प्रमेय, उच्च क्रम के माध्य मान प्रमेय, विभिन्न प्रकार के अवशेषों के साथ टाॅयलर का प्रमेय, उत्तरोत्तर अवकलन, लिब्नीज प्रमेय, मैकलॉरिन और टेलर की श्रृंखला, आंशिक अवकलन, सजातीय फलन पर आॅयलर का प्रमेय) 

III

Tangent and normals, Asymptotes, Curvature, Envelops and Evolutes, Tests for Concavity and Convexity, Points of inflexion, Multiple points, Parametric representation of curves and tracing of parametric curves, Tracing of curves in Cartesian and Polar forms. (स्पर्शीय एवं सामान्य, अनंतस्पर्शी, वक्रता, आवरण तथा विकासज, अवतलता एवं उत्तलता के लिए परीक्षण, विभक्ति बिंदु, बहु बिंदु, वक्रों का पैरामीट्रिक प्रदर्षन और पैरामीट्रिक वक्रों का अनुरेखण, कार्तीय तथा ध्रुवीय रूपों में वक्रों का अनुरेखण)                                                                                                                        (07)

IV

Definition of a sequence, Theorems on limits of sequences, Bounded and monotonic sequences, Cauchy’s convergence criterion, Cauchy sequence, Limit superior and Limit inferior of a sequence, subsequence, Series of non-negative terms, Convergence and Divergence, Comparison tests, Cauchy’s integral test, Ratio tests, Root test, Raabe’s logarithmic test, de Morgan and Bertrand’s tests, alternating series, Leibnitz’s theorem, absolute and conditional convergence. ¼vuqØe dh ifjHkk"kk] vuqØeksa dh lhek ij çes;] ifjc) ,oa ,dfn"V vuqØe] dkS’kh ds vfHklj.k ekunaM] dkS’kh vuqØe] vuqØe dh lhek mPp rFkk fuEu lhek] vuqØe] _.ksŸkj inksa dh J`a[kyk] vfHklj.k ,oa fopyu] rqyuk ijh{k.k] dkS’kh dk lEiw.kZ ijh{k.k] vuqikr ijh{k.k] ewy ijh{k.k] jkcs dk y?kqx.kd ijh{k.k] Mh e‚xZu rFkk cVªsUM ds ijh{k.k] çR;korÊ J`a[kyk] fyCuht dh çes;] fujis{k ,oa lçfrcaèkh vfHklj.k½                                                                                                                                         (09)

Part-B: Integral Calculus ब्ंसबनसने (भाग.ठरू समाकलन गणित)

Units

इकाइ

Topics

(विषय)

V

Concept of partition of interval, Properties of Partitions,  Riemann integral, Criterion of Riemann Integrability of a function, Integrability of continuous and monotonic functions, Fundamental theorem of integral calculus, Mean value theorems of integral calculus, Differentiation under the sign of Integration. ण् (अंतराल के विभाजन की अवधारणा, रीमैन समाकल, एक फलन के रीमैन समाकलनीयता के मानदंड, सतत एवं एकदिष्ट फलन की समाकलनीयता, समाकलन गणित का मूल प्रमेय, समाकलन गणित का माध्यमान प्रमेय, समाकलन के चिन्ह के अन्तर्गत अवलकन)   (09)                                    

VI

Improper integrals, their classification and convergence, Comparison test, m-test, Abel’s test, Dirichlet’s test, Quotient test, Beta and Gamma functions. (अनुचित समाकल, उनका वर्गीकरण तथा अभिसरण, समानता परीक्षण, .परीक्षण, एबेल का परीक्षण, डिरिचलेट का परीक्षण, भागफल परीक्षण, बीटा एवं गामा फलन)                                                   (07)

VII

Rectification, Volumes and Surfaces of Solid of Revolution, Pappus theorem, Multiple integrals, change of order of double integration, Dirichlet’s theorem, Liouville’s theorem for multiple integrals.  ण्  (ठोस के परिक्रमण का दिष्टकरण, आयतन एवं सतहें, पप्पस प्रमेय, एकाधिक समाकलन, दोहरे समाकलन के क्रम में परिवर्तन, डिरिचलेट का प्रमेय, बहु समाकलन के लिए लिउविल का प्रमेय)

VIII

Vector Differentiation, Gradient, Divergence and Curl, Normal on a surface, Directional Derivative, Vector Integration, Theorems of Gauss, Green, Stokes and related problems.  ण्  (सदिष अवलकन, प्रवणता, अपसरण एवं कर्ल, एक सतह पर सामान्य, दिक् अवकलज, सदिष समाकलन, गाॅस के प्रमेय, ग्रीन, स्टोक तथा सम्बंधित समस्याएं)                                                                      (07)