Matrices and Differential equations and Geometry (आव्यूह अवकल समीकरण ज्यामिति)

Part-A: Matrices and Differential Equations

(आव्यूह, अवकल समीकरण एवं ज्यामिति)

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Topics

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I

Types of Matrices, Elementary operations on Matrices, Rank of a Matrix, Echelon form of a Matrix, Normal form of a Matrix, Inverse of a Matrix by elementary operations, System of linear homogeneous and non-homogeneous equations, Theorems on consistency of a system of linear equations.                                                                       (12)

आव्यूह के प्रकार, आव्यूह पर प्राथमिक संचालन, आव्यूह का क्रम, आव्यूह का सोपानक रूप, आव्यूह का व्यापक रूप, प्रारंभिक संचालन द्वारा आव्यूह का व्युत्क्रम, रैखिक सजातीय और विजातीय समीकरणों की प्रणाली, रैखिक समीकरणों के एक प्रणाली की स्थिरता पर प्रमेय।     

II

Eigen values, Eigen vectors and characteristic equation of a matrix, Caley-Hamilton theorem and its use in finding inverse of a matrix, Complex functions and separation into real and imaginary parts, Exponential and Logarithmic functions, Inverse trigonometric and hyperbolic functions.                   (11)

आइगेन मान, आइगेन सदिश और एक आव्यूह का अभिलाक्षणिक समीकरण, केली हैमिल्टन प्रमेय और एक आव्यूह के व्युत्क्रम को ज्ञात करने में इसका उपयोग, सम्मिश्र फलन और वास्तविक और काल्पनिक भागों में पृथक्करण, घातांक और लघुगणक फलन, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय और अतिपरवलयिक फलन।                       

III

Formation of differential equations, Geometrical meaning of a differential equation, Equation of first order and first degree, Equation in which the variables are separable, Homogeneous equations, Exact differential equations and equations reducible to the exact form, Linear equations.                                    (11)

अवकल समीकरणों का निर्माण, अवकल समीकरण का ज्यामितीय अर्थ, प्रथम कोटि का समीकरण और प्रथम क्रम का समीकरण, वह समीकरण जिसमें चर वियोज्य होते हैं, सजातीय समीकरण, यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण और यथातथ रूप में कम करने योग्य समीकरण, रैखिक समीकरण।    (11½

IV

First order higher degree equations solvable for x, y, p, Clairaut’s equation and singular solutions, orthogonal trajectories, Linear differential equation of order greater than one with constant coefficients, Cauchy-Euler form.                                   (11)                                                

गए लए चए के लिए हल करने योग्य क्लेरो समीकरण और विचित्र हल, लंबकोणीय प्रक्षेपवक, निरंतर गुणांक वाले एक से अधिक क्रम के रैखिक अंतर समीकरण, कौशी-आॅयलर रूप के लिए पहला क्रम उच्च घातीय समीकरण हल करने योग्य।     ¼11½

Part-B: Geometry

Hkkx- B&  T;kfefr

V

General equation of second degree, System of conics, Tracing of conics, Confocal conics, Polar equation of conics and its properties.                                              (12)                                                

दूसरी घात का सामान्य समीकरण, शांकवों की प्रणाली, शांकवों का अनुरेखण, संनाभि शांकव, शांकवों का ध्रुवीय समीकरण और इसके गुण।                       

VI

Three-Dimensional Coordinates, Projection and Direction Cosine, Plane (Cartesian and vector form), Straight line in three dimension.                                 (11)                                                                                                

त्रि-आयामी निर्देशांक, प्रक्षेपण और दिक् कोज्या तल (कार्तीय और सदिष रूप), तीन आयामों में सरल रेखा।

VII

Sphere, Cone and Cylinder.                                        (11)

गोला, शंकु और बेलन।                        ¼11½

VIII

Central conicoids, Paraboloids, Plane section of conicoids, Generating lines, Confocal conicoids, Reduction of second degree equations.          (11)                                                

केन्द्रीय शांकवज, परवलय, शांकवजों का समतल खंड, जनन रेखाएं, सनाभि शांकवज, द्वितीय घात समीकरणों का समानयन।                                                            ¼11½